Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于， 兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)變化時，解答下列問題：

（1）以為直徑的圓能否經(jīng)過點(diǎn)？說明理由；

（2）過， ， 三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不經(jīng)過點(diǎn)；（2）定值為.

【解析】試題分析：（1）在方程中，令可得點(diǎn), 的坐標(biāo)，驗(yàn)證AC的斜率與BC的斜率之積是否為-1即可；（2）設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為，將點(diǎn)三點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，并結(jié)合，可得，進(jìn)一步得，故圓的方程為，令y=0可解得，因此圓在y軸上截得的弦長是定值為4.。

試題解析：

（1）以為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)C，理由如下：

設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，

在方程中，令，得，

則是方程的兩根，

∴

又C的坐標(biāo)為（0，1），

故AC的斜率與BC的斜率之積為

所以直線AC,BC不垂直，

因此以為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)C.

（2）設(shè)過A，B，Cspan>三點(diǎn)的圓的方程為，

∵點(diǎn)在圓上，

∴

，

由（1）

，

∴，

圓的方程為，

令，得

解得，

∴圓在y軸上截得的弦長是定值為4.