Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C，的對(duì)邊，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的大小．
（2）在△ABC中，作角B的角平分線，交AC于D，求證

1

AB

+

1

CB

=

1

BD

．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由sinA的值不為0，兩邊同時(shí)除以sinA，得出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，過D作DE平行于AB，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，再由兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換可得∠ABD=∠CBD=60°，即三角形BDE為等邊三角形，可得BE=BD，由DE平行于AB，根據(jù)平行得比例得到一個(gè)比例式，將其中的CE換為BC-BE，并把BE都換為BD，同時(shí)根據(jù)BD為角平分線得到另外一個(gè)比例式，兩個(gè)比例式等量代換后，在等式兩邊同時(shí)除以BC，化簡(jiǎn)后即可得證．

解答：解：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB=-（sinBcosC+cosBsinC）=-sin（B+C），
又sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosB=-sinA，又sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，又B為三角形的內(nèi)角，
則B=120°；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵∠ABC=120°，BD為角平分線，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
又DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=60°，
∴∠CBD=∠BDE=60°，
∴△BDE為等邊三角形，
∴BD=BE=DE，
又DE∥AB，
∴

CE

BE

=

CD

AD

，即

BC-BE

BE

=

CD

AD

，
即

BC-BD

BD

=

CD

AD

，
又BD為角平分線，可得

BC

AB

=

CD

AD

，
∴

BC-BD

BD

=

BC

BD

-1=

BC

AB

，
則兩邊同時(shí)除以BC得：

BC

BD

•

1

CB

-

1

CB

=

BC

AB

•

1

CB

，
則

1

BD

-

1

CB

=

1

AB

，即

1

AB

+

1

CB

=

1

BD

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及比例的性質(zhì)，熟練掌握定理、性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．