Question

【題目】設(shè)f(x)＝ (m＞0，n＞0)．

(1) 當(dāng)m＝n＝1時(shí)，求證：f(x)不是奇函數(shù)；

(2) 設(shè)f(x)是奇函數(shù)，求m與n的值；

(3) 在(2)的條件下，求不等式f(f(x))＋f <0的解集．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） （3）(－∞，log23)．

【解析】試題分析:（1）只要舉一個(gè)反例說明f(x)不是奇函數(shù)即可（2）由奇函數(shù)性質(zhì)得恒等式,再根據(jù)恒等式定理得對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為零,解方程組可得m與n的值；注意驗(yàn)證函數(shù)定義域關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱(3)先分離函數(shù),判定函數(shù)單調(diào)性,再利用奇偶性以及單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式f(f(x))＋f <0為f(x)>－,最后最后為指數(shù)函數(shù)不等式: 2x<3,解得x<log23即為所求

試題解析：(1) 證明：因?yàn)楫?dāng)m＝n＝1時(shí)，f(x)＝，f(1)＝－，f(－1)＝， f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函數(shù)．

(2) 解：當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(－x)＝－f(x)，即＝－對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x成立．

化簡(jiǎn)整理得(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0，這是關(guān)于x的恒等式，

所以

所以 (不符，舍去)或

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以

(3) 解：由(2)可知f(x)＝＝ (－1＋)，易判斷f(x)是R上單調(diào)減函數(shù)；

由f(f(x))＋f()<0，得f(f(x))<ff(x)>－2x<3 x<log23，

所以f(x)>0的解集為(－∞，log23)．