Question

12．實(shí)數(shù)一元二次方程x²+ax+2b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求（a-1）²+（b-2）²的取值范圍．

Answer 1

分析 本題目考察二次函數(shù)兩根的分布與系數(shù)的關(guān)系，但題目要求（a-1）²+（b-2）²的取值范圍，須轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)求解，可通過(guò)作圖來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題．

解答 ∵方程x²+ax+2b=0的一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
∴可得 f（0）＞0，
 f（1）＜0，
 f（2）＞0；
即b＞0，
a+2b+1＜0，
a+b+2＞0；
作出滿(mǎn)足上述不等式組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a，b）所在的平面區(qū)域，
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0）．

設(shè)點(diǎn)E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，
可得|DE|²=（a-1）²+（b-2）²，表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)E與點(diǎn)D之間距離的平方，
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)E，可得當(dāng)E在C點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足|DE|²=（-1-1）²+（0-2）²=8，
在當(dāng)E在A點(diǎn)滿(mǎn)足|DE|²=（-3-1）²+（1-2）²=17．
由此可得（a-1）²+（b-2）²的取值范圍為（8，17）．

點(diǎn)評(píng) 本題目將二次方程兩根的分布問(wèn)題同線性規(guī)劃問(wèn)題結(jié)合起來(lái)考察學(xué)生，題目難度有所增加，可根據(jù)方程系數(shù)之間的關(guān)系做出可行域，然后解出問(wèn)題的答案．