Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）若直線與圓相切，求的值；

（2）直線與圓相交于不同兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）（為參數(shù)，）

【解析】

（1）將圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，求得直線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得直線的斜率，從而求得直線的傾斜角.

（2）根據(jù)直線的參數(shù)方程，求得三點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.

（1）∵圓的極坐標(biāo)方程為，

∴的直角坐標(biāo)方程為，

圓心為，半徑為；

∵直線過點(diǎn)，傾斜角為，

∴當(dāng)時(shí)，不合題意，

當(dāng)時(shí)，斜率為，

則直線的方程為，

即，∵直線與圓相切，

∴，解得，，

即，∴或；

（2）∵直線與圓相交于不同兩點(diǎn)，，

∴由（1）知，，

設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，

則，

將代入得，

，

則，∴，

又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，

即，

故點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是（為參數(shù)，）.