Question

16．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=0．
（1）求角A的大小．
（2）若b+c=1．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）已知等式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后根據(jù)sinA不為0求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由b+c=1，利用基本不等式的性質(zhì)化為bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-bc=1-3bc，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）cosC+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∵sinB≠0，
∴sinA-$\sqrt{3}$cosA=0，
∵cosA≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，π）．
解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b+c=1，
∴bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-bc=1-3bc≥1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號．
又a＜b+c=1．
∴a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的內(nèi)角和定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．