Question

7．求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且滿足下列條件的雙曲線方程：
（1）雙曲線過(guò)點(diǎn)（3，9$\sqrt{2}$），離心率e=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
（2）雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（$\sqrt{3}$，0）；
（3）與雙曲線x²-2y²=2有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-2）；
（4）過(guò)點(diǎn)P（2，-1），漸近線方程是y=±3x．

Answer 1

分析 分別根據(jù)相應(yīng)的條件，設(shè)出雙曲線方程，解得即可．

解答 解：（1）若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{162}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=-161（舍去）；
若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，則$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{3}}\\{\frac{162}{{a}^{2}}-\frac{9}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$解得a²=81，b²=9，
故雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{81}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（2）雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（$\sqrt{3}$，0），
則c=2，a=$\sqrt{3}$，
則b²=c²-a²=1，
則雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1
（3）由題意設(shè)雙曲線方程x²-2y²=2k，k≠0，
把點(diǎn)（2，-2）代入，得4-8=2k，解得k=-2，
∴x²-2y²=-4，
即$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
（4）由題意設(shè)雙曲線方程x²-$\frac{1}{9}$y²=k，k≠0，
把點(diǎn)（2，-1）代入，得4-$\frac{1}{9}$=k，解得k=$\frac{35}{9}$，
∴x²-$\frac{1}{9}$y²=$\frac{35}{9}$，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{35}{9}}$-$\frac{{y}^{2}}{35}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，同時(shí)考查解方程組的運(yùn)算能力．