Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（x-2）是偶函數(shù)，且當(dāng)0＜x≤2時，f（x）=

3	x

，則方程f（x）=f（3）在區(qū)間（0，16）上的所有實(shí)數(shù)根之和是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意可得f（x+8）=f（x），f（2-x）=f（2+x），可得周期為8，x=2為對稱軸，根據(jù)周期，與對稱性求出方程f（x）=f（3）在區(qū)間（0，16）上的所有實(shí)數(shù)根即可．

解答： 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）是偶函數(shù)，
∴f（x-2）=f（-x-2），
f（2-x）=f（2+x），
即f（x）=f（4-x），
f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=f（x），
可得周期為8，x=2為對稱軸，
∵f（x）=f（3），
∴x₁=1，x₂=3，x₃=9，x₄=11，x₅=17，x₆=19，
∵在區(qū)間（0，16）上的所有實(shí)數(shù)根之和，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=1+3+9+11=24，
故答案為：24

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用性質(zhì)求解方程的根，屬于中檔題．