Question

（本題14分）
設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）．

試題分析：（1）確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)作為工具，求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即為f'（x）＞0的x的取值區(qū)間；
（2）方法一：利用函數(shù)思想進行方程根的判定問題是解決本題的關(guān)鍵．構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍．
方法二：先分離變量再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意列出關(guān)于實數(shù)a的不等式組進行求解．
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，………………………1分
∵，………………………2分
∵，則使的的取值范圍為，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． …………………………4分
（Ⅱ）方法1：∵，
∴．…………………6分
令，              
∵，且，
由．
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，……………………9分
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根……11分
即解得：．
綜上所述，的取值范圍是．………………13分
方法2：∵，
∴．………………6分
即，
令， ∵，且，
由．
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．………9分
∵，，，
又，故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根．……11分
即．
綜上所述，的取值范圍是．  …………………14分
點評：解決該試題的關(guān)鍵將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點問題。