己知函數(shù)f(x)=x2e-x
(Ⅰ)求f(x)的極小值和極大值;
(Ⅱ)當(dāng)曲線y=f(x)的切線l的斜率為負數(shù)時,求l在x軸上截距的取值范圍.
(Ⅰ)∵f(x)=x2e-x,∴f′(x)=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),
令f′(x)=0,解得x=0或x=2,
令f′(x)>0,可解得0<x<2;令f′(x)<0,可解得x<0或x>2,
故函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)與(2,+∞)上是減函數(shù),在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù).
∴x=0是極小值點,x=2極大值點,又f(0)=0,f(2)=
4
e2

故f(x)的極小值和極大值分別為0,
4
e2

(II)設(shè)切點為(x0,x02e-x0),
則切線方程為y-x02e-x0=e-x0(2x0-x02)(x-x0),
令y=0,解得x=
x02-x0
x0-2
=(x0-2)+
2
x0-2
+3

因為曲線y=f(x)的切線l的斜率為負數(shù),∴e-x02x0-
x20
)
<0,∴x0<0或x0>2,
f(x0)=x0+
2
x0-2
+1
,
f(x0)=1-
2
(x0-2)2
=
(x0-2)2-2
(x0-2)2

①當(dāng)x0<0時,(x0-2)2-2>0,即f(x0)>0,∴f(x0)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,∴f(x0)<f(0)=0;
②當(dāng)x0>2時,令f(x0)=0,解得x0=2+
2

當(dāng)x0>2+
2
時,f(x0)>0,函數(shù)f(x0)單調(diào)遞增;當(dāng)2<x0<2+
2
時,f(x0)<0,函數(shù)f(x0)單調(diào)遞減.
故當(dāng)x0=2+
2
時,函數(shù)f(x0)取得極小值,也即最小值,且f(2+
2
)
=3+2
2

綜上可知:切線l在x軸上截距的取值范圍是(-∞,0)∪[2
2
+3,+∞)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知函數(shù)f(x)=
3
4
sin x-
1
4
cos x.
(1)若cosx=-
5
13
,x∈[
π
2
,π],求函數(shù)f (x)的值;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m個單位,使平移后的圖象關(guān)于原點對稱,若0<m<π,試求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)己知函數(shù)f(x)=
x-4
x+1
(x≠-1)的反函數(shù)是f-1(x
),設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有{an}=
6f-1(Sn)-19
f-1(Sn)+1
成立,且bn=f-1(an
(I)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項公式
(II)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項是否存在使得Rn≥4k成立?若存在,找出一個正整數(shù)k:若不存在,請說明理由
(III)記cn=b2n-b2n-1(n∈N),設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:對任意正整數(shù)n都有Tn
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•綿陽一模)己知函數(shù)f(x)=
a
x
-1(其中a是不為0的實數(shù)),g(x)=lnx,設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)判斷函數(shù)F(x)在(0,3]上的單調(diào)性;
(Ⅱ)已知s,t為正實數(shù),求證:ttex≥stet(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(Ⅲ)是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)y=f(
2a
x2+1
)+2m的圖象與函數(shù)y=g(x2+1)的圖象恰好有四個不同的交點?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•武清區(qū)一模)己知函數(shù)f(x)=-lnx-
ax
,a∈R

(1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省永春一中、培元中學(xué)、季延中學(xué)、石獅聯(lián)中高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

己知函數(shù)f(x)=sin x-cos x.
(1)若cosx=-,x∈[,π],求函數(shù)f (x)的值;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m個單位,使平移后的圖象關(guān)于原點對稱,若0<m<π,試求m的值.

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