14．已知$\underset{lim}{x→0}[\frac{f（x）-2}{x}-\frac{sinx}{{x}^{2}}]$=1，試求$\underset{lim}{x→0}$f′（x）

分析 先通分，再由洛必達法則，得到$\underset{lim}{x→0}\frac{2{f}^{'}（x）}{2}$=1，由此能求出$\underset{lim}{x→0}$f′（x）的值．．

解答 解：∵$\underset{lim}{x→0}[\frac{f（x）-2}{x}-\frac{sinx}{{x}^{2}}]$=1，
∴由洛必達法則，得：
$\underset{lim}{x→0}[\frac{f（x）-2}{x}-\frac{sinx}{{x}^{2}}]$
=$\underset{lim}{x→0}\frac{xf（x）-2x-sinx}{{x}^{2}}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{xf（x）+f（x）-2-cosx}{2x}$
=$\underset{lim}{x→0}\frac{{f}^{'}（x）+{f}^{'}（x）+x{f}^{'}（x）-2+sinx}{2}$
=$\underset{lim}{x→0}\frac{2{f}^{'}（x）}{2}$=1，
∴$\underset{lim}{x→0}$f′（x）=1．

點評 本題考查極限的求法，是中檔題，解題時要注意洛必達法則的合理運用．

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