【題目】如圖的空間幾何體中,四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形,平面,,,且,.
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)分別取的中點(diǎn),,連接,,,首先證明出四邊形為平行四邊形得到,接著通過(guò)證明面來(lái)得到面,通過(guò)面面垂直判定定理即可得結(jié)果;
(2)如圖所示:取中點(diǎn),記,連接,,利用線面平行性質(zhì)定理證出兩面的交線與平行,然后再證出,可得為平面與平面ABCD所成二面角的平面角,在中即可求得答案.
(1)如圖所示:
分別取的中點(diǎn),,連接,,,
∵,,,,
∴,且,,
∴四邊形為平行四邊形,∴,
由于,為的中點(diǎn),四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形
∴,
又∵平面,∴,
又∵,∴面,
∴面,
∴平面平面.
(2)如圖所示:取中點(diǎn),記,連接,,
由(1)知,,∴面ABCD,
記面面,則
易得,即,
又∵平面,∴,
又∵,,
∴面,∴,即為直角三角形,
同理為直角三角形,
由于,,
由,則,∴,
∴,即,
∴則為平面與平面ABCD所成二面角的平面角,
由四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形得,
∴,∴,
即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的是______(填上所有正確命題序號(hào)).(1)是的極大值點(diǎn) ;(2)函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn);(3)存在正實(shí)數(shù),使得恒成立 ;(4)對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù),且,若,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)若在區(qū)間上存在不相等的實(shí)數(shù),使得成立,求的取值范圍;
(3)設(shè)的圖象為,的圖象為,若直線與分別交于,問是否存在整數(shù),使在處的切線與在處的切線互相平行,若存在,求出的所有值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)為了解某市居民在該平臺(tái)的消費(fèi)情況,從該市使用其平臺(tái)且每周平均消費(fèi)額超過(guò)100元的人員中隨機(jī)抽取了100名,并繪制如圖所示頻率分布直方圖,已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求的值;
(2)分析人員對(duì)100名調(diào)查對(duì)象的性別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),消費(fèi)金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān)?
(3)分析人員對(duì)抽取對(duì)象每周的消費(fèi)金額與年齡進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān),得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替)
列聯(lián)表
男性 | 女性 | 合計(jì) | |
消費(fèi)金額 | |||
消費(fèi)金額 | |||
合計(jì) |
臨界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從裝有個(gè)不同小球的口袋中取出個(gè)小球(),共有種取法。在這種取法中,可以視作分為兩類:第一類是某指定的小球未被取到,共有種取法;第二類是某指定的小球被取到,共有種取法。顯然,即有等式:成立。試根據(jù)上述想法,下面式子(其中)應(yīng)等于 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,下列判斷正確的是( )
A.A1C⊥面AB1D1B.A1C⊥面AB1C1D
C.A1B⊥面AB1D1D.A1B⊥AD1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某品牌經(jīng)銷商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪男性和女性用戶各50名,其中每天玩微信超過(guò)6小時(shí)的用戶列為“微信控”,否則稱其為“非微信控”,調(diào)查結(jié)果如下:
微信控 | 非微信控 | 合計(jì) | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 56 | 44 | 100 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有95%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人數(shù);
(3)從(2)中抽取的5位女性中,再隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品,試求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程為,過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的值,并求定點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí),求拋物線的方程;
(2)證明:是定值.
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