Question

【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，求拋物線的方程；

（2）證明：是定值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）證明見解析

【解析】

（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，即可求得的值，求得拋物線方程；

（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，代入拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明是定值．

解：（1）因?yàn)閽佄锞�過(guò)點(diǎn)，

所以，，

所以拋物線的方程；

（2）證明：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，設(shè)直線的方程為，則，

將（1）代入（2）得，，化簡(jiǎn)得，

設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則，

因?yàn)辄c(diǎn)，都在拋物線上，所以，，

所以，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)，分布在軸的兩側(cè)，所以，所以，

所以，，所以，是定值．

當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，則，代入拋物線方程得，，，

所以，因?yàn)辄c(diǎn)，分布在軸的兩側(cè)，所以，所以，

所以，，所以，是定值．

綜上，，是定值．