已知直線 l：（1+
3
λ）x-（3-2λ）y-（
3
+3λ）=0（λ∈R），一定經(jīng)過橢圓C（中心在原點，焦點在x軸上）的焦點F，且橢圓C上的點到焦點F的最大距離為2+
3
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線n交橢圓C與A、B兩點，且kOA、k、kOB成等差數(shù)列，點M（1，1），求S△ABM的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）確定直線恒過定點（
3
，0），即F（
3
，0），可得c，利用橢圓C上的點到焦點F的最大距離為2+
3
，可得a，從而可得b，則橢圓的方程可求；
（2）確定直線n的方程為y=kx，代入橢圓方程，借助于弦長公式求出|AB|的長度，由點到直線的距離公式求出M到直線y=kx的距離，寫出三角形AOB的面積后轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)法求最值．
解答： 解：（1）直線 l：（1+
3
λ）x-（3-2λ）y-（
3
+3λ）=0（λ∈R），可化為
（x-3y-
3
）+λ（
3
x+2y-3）=0，
由x-3y-
3
=0，且
3
x+2y-3=0，可得x=
3
，y=0，
∴直線恒過定點（
3
，0），即F（
3
，0），
∴c=
3
，
∵橢圓C上的點到焦點F的最大距離為2+
3

∴a+c=2+
3

∴a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1；
（2）設(shè)直線n的方程為y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），則
∵kOA、k、kOB成等差數(shù)列，
∴m（x1+x2）=0，
∴m=0，
∴直線n的方程為y=kx
代入橢圓方程得（1+4k2）x2=4，
∴|AB|=
4
1+k2
1+4k2
．
∵M(jìn)到y(tǒng)=kx的距離為d=
|k-1|
k2+1

∴S=
1
2
•
4
1+k2
1+4k2
•
|k-1|
k2+1
=
2|k-1|
1+4k2

∴S2=
4(k-1)2
1+4k2
，
∴（S2）′=
8(k-1)(4k+1)
(1+4k2)2
，
∴k＜-
1
4
，（S2）′＞0，-
1
4
＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，
∴k=-
1
4
時，S取得最大值
5
．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查弦長問題、最值問題．屬難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=
1
1-i
+i7對應(yīng)的點位于（　�。�
A、第四象限B、第三象限
C、第二象限D、第一象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中點，AC與BD的交點為M．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求證：平面BED⊥平面AED．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b為常數(shù)，a≠0，函數(shù)f(x)=(a+
b
x
) ex．
（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值；
（2）①若a＞0，b＞0，求證：f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，且f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點（a，b）形成的平面區(qū)域的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=x+
a
x
，a∈R且在[2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若橢圓C上的點P（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離和等于4．
（Ⅰ）寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點M是橢圓C的動點，MF1交橢圓與點N，求線段MN中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）直線l過定點M（0，2），且與橢圓C交于不同的兩點A，B，若∠A0B為銳角（O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=x2+|x|；
（2）f（x）=x2+x+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點．
（1）設(shè)點P是第一象限內(nèi)橢圓上的點，且
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的點A，B，且
OA
•
OB
＞0，（其中O為原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過A、B兩點分別作拋物線C的切線l1、l2，切線l1與l2相交于點M．證明：點M定在直線y=-1上；
（3）橢圓E上是否存在一點M′，經(jīng)過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′（A′、B′為切點），使得直線A′B′過點F？若存在，求出切線M′A′、M′B′的方程；若不存在，試說明理由．

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同步練習(xí)冊答案