Question

【題目】已知， ．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）記表示m，n中的最大值，若，且函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為．（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)，得到，然后分和，分別要求的正負(fù)，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）分和進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，可知證明至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，先得出關(guān)于對(duì)稱，所以要有3個(gè)零點(diǎn)，則必須在上取到2個(gè)零點(diǎn)，得到關(guān)于的不等式組，解出的范圍，得到答案.

解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>R，

．

①當(dāng)時(shí)，，所以的單減區(qū)間為；

②當(dāng)時(shí)，令，得，

令，得，

綜上得，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為．

（Ⅱ），

的唯一一個(gè)零點(diǎn)是，∴，

由（1）可得：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，

此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，

則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

即的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，

注意到在上恒正，

要有3個(gè)零點(diǎn)，則必須在上取到2個(gè)零點(diǎn)，

如圖，

∴極大值，且

則有

，

綜上，．