Question

已知非零向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

=α

OB

+β

OC

（α，β∈R），給出下列命題：
①若α=

3

2

，β=-

1

2

，則A、B、C三點(diǎn)共線；
②若α＞0，β＞0，| 

OA

|=

3

，| 

OB

 | =| 

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

，則α+β=3；
③已知等差數(shù)列{a_n}中，a_n＞a_n+1＞0（n∈N^*），a₂=α，a₂₀₀₉=β，若A、B、C三點(diǎn)共線，但O點(diǎn)不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為9；
④若β≠0，且A、B、C三點(diǎn)共線，則A分

BC

所成的比λ一定為

α

β

．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：①，依題意，

OA

=α

OB

+β

OC

，且α+β=1，可判知A、B、C三點(diǎn)共線，可判斷①；
②，作出圖形，結(jié)合已知條件，可求得α+β=3，可判斷②；
③，

OA

=α

OB

+β

OC

，A、B、C三點(diǎn)共線，a₂=α，a₂₀₀₉=β，可得到α+β=a₂+a₂₀₀₉=1，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a₃+a₂₀₀₈=1，又a_n＞a_n+1＞0，利用乘“1”法與基本不等式可求得

1

a3

+

4

a2008

＞9，可判斷③；
④，利用向量的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得α=

1

1+λ

，β=

λ

1+λ

，λ=

β

α

，可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，要使A、B、C三點(diǎn)共線，則

AB

=t

BC

，即

OB

-

OA

=t（

OC

-

OB

），
整理得：

OA

=（1+t）

OB

-t

OC

，顯然，（1+t）+（-t）=1，
∵

OA

=α

OB

+β

OC

，α=

3

2

，β=-

1

2

，滿足α+β=1，
∴A、B、C三點(diǎn)共線，故①正確；
對(duì)于②，依題意，作圖：

∵＜

OA

，

OB

＞=

π

2

，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，α＞0，β＞0，

OA

=α

OB

+β

OC

，
∴＜

OA

，

OC

＞=

π

6

，
又|

OB

|=|

OC

|=1，|

OA

|=

3

，
∴在Rt△AOB中，|AB|=

( 3 )2+12

=2=|OC|，
∴

OA

=

OB

+2

OC

，即α+β=1+2=3，故②正確；
對(duì)于③，∵

OA

=α

OB

+β

OC

，a₂=α，a₂₀₀₉=β，若A、B、C三點(diǎn)共線，
∴α+β=a₂+a₂₀₀₉=1，（α＞0，β＞0），又?jǐn)?shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴a₂+a₂₀₀₉=a₃+a₂₀₀₈=1，又a_n＞a_n+1＞0，
∴

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）=1+4+

a2008

a3

+

4a3

a2008

＞5+2

4

=9，故

1

a3

+

4

a2008

無最小值，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵A、B、C三點(diǎn)共線，A分

BC

所成的比λ，
∴

BA

AC

=λ，

BA

=λ

AC

，即

OA

-

OB

=λ（

OC

-

OA

），
∴（1+λ）

OA

=

OB

+λ

OC

，即

OA

=

1

1+λ

OB

+

λ

1+λ

OC

，又

OA

=α

OB

+β

OC

，β≠0，
∴α=

1

1+λ

，β=

λ

1+λ

，∴λ=

β

α

，而不是

α

β

，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考察平面向量的線性運(yùn)算，考查向量共線定理的應(yīng)用，考查定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式與等差數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式的綜合應(yīng)用，考查邏輯推理能力，考查轉(zhuǎn)化思想，是難題．