Question

如圖，已知在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面SBC；
（Ⅱ）求直線SC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由SA⊥平面ABCD，BC⊆平面ABCD推斷出SA⊥BC，又∠ABC=90°即AB⊥BC，利用線面垂直的判定定理推斷出BC⊥面SAB，又BC⊆面SBC，根據(jù)面面垂直的判定定理平面SAB⊥平面SBC，
（Ⅱ）連接AC，由SA⊥平面ABCD，推斷出AC是SC在底面ABCD內(nèi)的射影，進(jìn)而可知∠SCA為直線SC與底面ABCD所成角，求得A，又SA=2，進(jìn)而求得tan∠SCA的值，即直線SC與底面ABCD所成角的正切值為

2

2

．

解答： （Ⅰ）證明：∵SA⊥平面ABCD，BC⊆平面ABCD
∴SA⊥BC，
又∵∠ABC=90°即AB⊥BC
∵AB、SA⊆面SAB
∴BC⊥面SAB，
DSACB
又∵BC⊆面SBC
∴平面SAB⊥平面SBC，
（Ⅱ）解：連接AC
∵SA⊥平面ABCD
∴AC是SC在底面ABCD內(nèi)的射影
∴∠SCA為直線SC與底面ABCD所成角，
∵AB=BC=2，∠ABC=90°
∴AC=2

2

又∵SA=2
∴tan∠SCA=

2

2 2

=

2

2

，即直線SC與底面ABCD所成角的正切值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了面面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成的二面角．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識綜合運(yùn)用．