Question

設(shè)f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）如果對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]都有g(shù)（x₁）-g（x₂）≤M成立，求滿足上述條件的最小整數(shù)M．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，切點(diǎn)和切線的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程；
（2）首先將不等式轉(zhuǎn)化為[g（x₁）-g（x₂）]_max≤M，然后求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，最值，得到M的不等式，求出最小整數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=

4

x

+xln x，
f′（x）=-

4

x2

+ln x+1，
∴f（1）=4，f′（1）=-3，
∴y-4=-3（x-1）．
故曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-7=0；
（2）對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≤M成立，
等價(jià)于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≤M，
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	遞減	極（最）小值- 85 27	遞增	1

由上表可知：g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1，
[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，即M≥

112

27

，
∴滿足條件的最小整數(shù)M=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程、求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．