Question

如圖，四邊形PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=.

(Ⅰ)若M為PA中點(diǎn),求證:AC∥平面MDE;
(Ⅱ)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 參考解析；(Ⅱ) 60°

解析試題分析：(Ⅰ)直線與平面平行的判定定理是在平面內(nèi)找一條直線與該直線平行，由于點(diǎn)M是PA的中點(diǎn)，聯(lián)想到連結(jié)PC與ED它們的交點(diǎn)也是ED的中點(diǎn)，所以可得MN∥AC.從而可得結(jié)論.本小題通過(guò)已知的中點(diǎn)利用三角形的中位線定理得到平行是解題的突破口.
試題解析：（1）證明：連接PC，交DE與N，連接MN，
在△PAC中，∵M(jìn)，N分別為兩腰PA，PC的中點(diǎn)
∴MN∥AC， （2分）
又AC面MDE，MN?面MDE，
所以AC∥平面MDE．                                        （4分）
（2）以D為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以，， （6分）
設(shè)平面PAD的單位法向量為，則可取               （7分）
設(shè)面PBC的法向量，
則有
即：，取=1，
則∴                 （10分）
設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，
(Ⅱ)因?yàn)榍笃矫鍼AD與PBC所成銳二面角的大小，如果做出二面角的平面角有一定的困難，可以延長(zhǎng)CB與直線DA相交，從而取求解可以.本小題通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)求解，求出兩個(gè)平面的法向量，再通過(guò)求出法向量的夾角從而得到二面角的大小.
∴                    （11分）
∴θ=60°，所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60° （12分）
考點(diǎn)：1.直線與平面的平行關(guān)系.2平面與平面的關(guān)系.3.三角形的中位線的知識(shí).4.空間直角坐標(biāo)系的公式.