Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個焦點為F（2，0），且離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點M（3，0）且斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為C，求△MBC面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知c=2，

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）直線l的方程為y=k（x-3）．聯(lián)立方程組

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1.

，得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．由韋達定理結合已知條件推導出S_△MBC=|S_△ABC-S_△AMC|=|y₁|（3-x₂）=|k|（3-x₁）（3-x₂）≤

3

2

，由此能求出△MBC面積S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個焦點為F（2，0），且離心率為

6

3

．
∴c=2，

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，
解得a²=6，b²=2．
故橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1． 
（Ⅱ）直線l的方程為y=k（x-3）．
聯(lián)立方程組

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1.

，消去y并整理，
得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0． （*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x1+x2=

18k2

3k2+1

，x1x2=

27k2-6

3k2+1

．
不妨設x₁＜x₂，顯然x₁，x₂均小于3．
則S△AMC=

1

2

•|2y1|•(3-x1)=|y1|(3-x1)，
S△ABC=

1

2

•|2y1|•(x2-x1)=|y1|(x2-x1)．
S_△MBC=|S_△ABC-S_△AMC|=|y₁|（3-x₂）=|k|（3-x₁）（3-x₂）
=|k|[9-3(x1+x2)+x1x2]=

3|k|

3k2+1

≤

3|k|

2 3k2

=

3

2

．
等號成立時，解得k2=

1

3

，此時方程（*）為 2x²-6x+3=0，滿足△＞0．
所以△MBC面積S的最大值為

3

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．