Question

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為f（x）=

1

2π

e -

x2

2

，x∈（-∞，+∞）
（1）證明f（x）是偶函數(shù)；
（2）求f（x）的最大值；
（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f（x）的增減性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用定義法求得f（-x）=f（x）證明函數(shù)為偶函數(shù)．
（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值．
（3）利用復(fù)合函數(shù)同增異減的原則求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

1

2π

e

(-x)2

2

=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，-

x2

2

有最大值
∴f（x）max=

1

2π

．
（3）

t=- x2 2 y= 1 2π e-t

，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)得，在區(qū)間（-∞，0）上函數(shù)f（x）單調(diào)增，在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．應(yīng)熟練應(yīng)用同增異減的原則來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性．