Question

11．下列不等式一定成立的是（　　）

• A． lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lgx（x＞0）
• B． sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z）
• C． x²+1≥2|x|（x∈R）
• D． $\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可得出．

解答 解：對(duì)于A：lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lgx（x＞0）等價(jià)于${x}^{2}+\frac{1}{4}＞x$，即$（x-\frac{1}{2}）^{2}＞0$，故得x$≠\frac{1}{2}$，而題設(shè)x＞0，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)不成立．
對(duì)于B：sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z）當(dāng)且僅當(dāng)sin²=1時(shí)取等號(hào)．此時(shí)x=$\frac{kπ}{2}$，與題設(shè)x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z矛盾，∴不成立．
對(duì)于C：x²+1≥2|x|（x∈R）等價(jià)于$|x|+\frac{1}{|x|}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1取等號(hào)．∴成立．
對(duì)于D：$\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）等價(jià)于x²+1＜1，即x²＜0，無解，∴不成立．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了靈活解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．