Question

1．（已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d．由a₃=7，a₅+a₇=26，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁，d即可得出．
（2）由（1）知a_n=2n+1，可得b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$），運用裂項相消求和即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d．
∵a₃=7，a₅+a₇=26，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n．
（2）由（1）知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$，
即數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．