Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，E、F、H分別為面A₁ADD₁、面DCC₁D₁與面BCC₁B₁的中心．
（1）求證：平面EFH∥平面ABCD；
（2）求三棱錐C₁-BEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面EFH∥平面ABCD．
（2）求出平面BEF的法向量

p

=（a，b，c），從而求出C₁到平面BEF的距離，再由S_△BEF=

1

2

|

EB

|•|

EF

|sin＜

EB

，

EF

＞求出三角形BEF的面積，由此能求出三棱錐C₁-BEF的體積．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得E（

1

2

，0，

1

2

），F(xiàn)（0，

1

2

，

1

2

），H（

1

2

，1，

1

2

），

EF

=（-

1

2

，

1

2

，0），

EH

=（0，1，0），
設(shè)平面EFH的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • EF =- 1 2 x+ 1 2 y=0 n • EH =y=0

，∴

n

=（0，0，1），
又平面ABCD的法向量為

m

=（0，0，1），
∴平面EFH∥平面ABCD．
（2）解：B（1，1，0），C₁（0，1，1），

EB

=（

1

2

，1，-

1

2

），

EF

=（-

1

2

，

1

2

，0），

EC1

=（-

1

2

，1，

1

2

），
設(shè)平面BEF的法向量

p

=（a，b，c），
則

p • EB = 1 2 a+b- 1 2 c=0 p • EF =- 1 2 a+ 1 2 b=0

，
取a=1，得

p

=（1，1，3），
∴C₁到平面BEF的距離d=

| EC1 • p |

| p |

=

|- 1 2 +1+ 3 2 |

9+1+1

=

2 11

11

，
|

EB

|=

1 4 +1+ 1 4

=

6

2

，|

EF

|=

1 4 + 1 4

=

2

2

，
cos＜

EB

，

EF

＞=

- 1 4 + 1 2 +0

6 2 × 2 2

=

3

6

，
∴sin＜

EB

，

EF

＞=

1-( 3 6 )2

=

33

6

，
∴S_△BEF=

1

2

|

EB

|•|

EF

|sin＜

EB

，

EF

＞=

1

2

×

6

2

×

2

2

×

33

6

=

11

8

，
∴三棱錐C₁-BEF的體積V=

1

3

×S△BEF×d=

1

3

×

11

8

×

2 11

11

=

1

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．