Question

【題目】已知，∈[1，＋∞).

（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；

（3）若對任意∈[1，＋∞)，＞0恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）當(dāng)時，f(x)＝x＋＋2，

任取1≤x1＜x2，則

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，

∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.

又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，

（2）由f(x)的單調(diào)性可知，在[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.

（3）在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，

則.

等價于a大于函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值.

只需求函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值.

φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x＝1時，φ(x)取得最大值，為φ(1)＝－3.

∴a＞－3，故實數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞).