Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），且在[0，2]上f（x）=

x(1-x)，0≤x≤1 sinπx，1＜x≤2

，則f(

5

2

)=

 

；若方程f（x）=k在[0，4）上恰有4個(gè)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），
∴f(

5

2

)=f（

5

2

-4）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

）=-sin

3π

2

=1；
若2≤x＜3，則-2≤x-4＜-1，1＜4-x≤2，
此時(shí)f（x）=f（x-4）=-f（4-x）=-sinπ（4-x）=sinπ（x-4），
若3≤x≤4，則-1≤x-4≤0，0≤4-x≤1，
此時(shí)f（x）=f（x-4）=-f（4-x）=-（4-x）（x-3）=（x-4）（x-3），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x）=-（x-

1

2

） 2+

1

4

，此時(shí)函數(shù)的最大值為

1

4

，
根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)3≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最小值為-

1

4

，
若方程f（x）=k在[0，4）上恰有4個(gè)根，
則k滿足-

1

4

＜k＜

1

4

，
故答案為：1；(-

1

4

，

1

4

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．