Question

如圖，△BCD是等邊三角形，AB=AD，∠BAD=90°，將△BCD沿BD折疊到△BCD的位置，使得AD⊥C′B．
（l）求證：AD⊥AC′；
（2）若M、N分別為BD，C′B的中點(diǎn)，求二面角N-AM-B的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由∠BAD=90°，得AD⊥AB，又C′B⊥AD，得AD⊥平面C′AB，由此能證明AD⊥AC′．
（2）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AC′所在直線為x，y，z軸，建系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角N-AM-B的正弦值．

解答： （1）證明：∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB，
又C′B⊥AD，且AB∩C′B=B，∴AD⊥平面C′AB，
∵AC′?面C′AB，∴AD⊥AC′．
（2）解：∵△BC′D是等邊三角形，AB=AD，∠BAD=90°，
不妨設(shè)AB=1，則BC′=C′D=BD=

2

，
連結(jié)C′M，則C′M⊥BD，又AM⊥BD，且AM∩C‘M=M，
∴BD⊥平面C′AM，∴C′A⊥BD，
又C′A⊥AD，AD∩BD=D，
∴C′A⊥平面ABD，
在Rt△C′AM中，CA′=

C′M2-AM2

=1，
以A為原點(diǎn)，AB、AD、AC′所在直線為x，y，z軸，建系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
C′（0，0，1），M（

1

2

，

1

2

，0），N（

1

2

，0，

1

2

），

AM

=(

1

2

，

1

2

，0)，

AN

=(

1

2

，0，

1

2

)，
設(shè)面ANM的法向量

m

=(x，y，z)，
又平面BAM的法向量

m

=（x，y，z），
則

AM • m =x+y=0 AN • m =x+z=0

，取x=1，得

m

=(1，-1，-1)，
又平面BAN的法向量

n

=(0，0，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=-

3

3

，
∴二面角N-AM-B的正弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．