Question

已知方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根為x₁，x₂，并且0＜x₁＜1＜x₂，則

b

a

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)建函數(shù)f（x）=x²+（2+a）x+1+a+b，利用方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根為x₁，x₂，并且0＜x₁＜1＜x₂，確定滿足條件的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)建函數(shù)f（x）=x²+（2+a）x+1+a+b
∵方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根為x₁，x₂，
并且0＜x₁＜1＜x₂，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

，即

1+a+b＞0 2a+b+3＜0

，不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：
兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，1），
∵

b

a

=

b-0

a-0

表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
由圖可知

b

a

∈（-∞，-

1

2

），
故答案為：（-∞，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個(gè)二次之間的關(guān)系，線性規(guī)劃，其中構(gòu)建函數(shù)，利用線性規(guī)劃知識(shí)求解是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．