Question

設(shè)點P（-2，1）在拋物線x²=2py（p＞0）上，且到圓C：x²+（y+b）²=1上點的最小距離為1．
（Ⅰ）求p和b的值；
（Ⅱ）過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別與拋物線交于兩點A，B，若直線AB與圓C交于不同兩點M，N．
（i）證明直線AB的斜率為定值；
（ii）求△PMN面積取最大值時直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由點P（-2，1）在拋物線x²=2py（p＞0）上，能求出p，由已知條件利用兩點間距離公式能求出b．
（Ⅱ）（i）設(shè)直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為-k，聯(lián)立

x2=4y y-1=k(x+2)

，推導(dǎo)出A（4k+2，（2k+1）²），B（-4k+2，（-2k+1）²），由此能求出直線AB的斜率．
（ii）設(shè)直線AB的方程為y=x+t，聯(lián)立直線AB與圓C的方程，得2x²+2（t-1）x+t²-2t=0，利用導(dǎo)數(shù)知識能求出△PMN面積取最大值時直線AB的方程

解答： （Ⅰ）解：∵點P（-2，1）在拋物線x²=2py（p＞0）上，
∴（-2）²=2p，解得p=2，
∵點P（-2，1）到圓C：x²+（y+b）²=1上點的最小距離為1，
∴

(-2-0)2+(1+b)2

=1+1，解得b=-1．
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為-k，
∴直線PA的方程為y-1=k（x+2），
聯(lián)立

x2=4y y-1=k(x+2)

，
整理，得x²-4kx-8k-4=0，
根據(jù)韋達(dá)定理，有x_A+x_P=4k，
∴x_A=4k+2，∴A（4k+2，（2k+1）²），
同理B（-4k+2，（-2k+1）²），
∴直線AB的斜率為：kAB=

(2k+1)2-(-2k+1)2

4k+2-(-4k+2)

=1．
（ii）設(shè)直線AB的方程為y=x+t，則點P到直線AB的距離d=

|t-3|

2

，
聯(lián)立直線AB與圓C的方程，得

x2+(y-1)2=1 y=x+t

，
整理，得2x²+2（t-1）x+t²-2t=0，
∵AB與圓C交于不同兩點M，N，∴1-

2

＜t＜1+

2

，
∵|MN|=

2

•

4(t-1)2-8(t2-2t)

2

=

2

•

-t2+2t+1

，
∴S_△PMN=

1

2

•

|t-3|

2

•

2

•

-t2+2t+1

=

1

2

(t-3)2•(-t2+2t+1

，（1-

2

＜t＜＜1+

2

），
設(shè)m=（t-3）²•（-t²+2t+1），
∵m′=2（t-3）•（-t²+2t+1）+（t-3）²•（-2t+2），
由m′=0，解得t=

3- 5

2

，或t=

3+ 5

2

（舍），或t=3（舍），
∴（S_△PMN）_max=

3+ 5

4

•

1+ 5 2

，
此時直線AB的方程為y=x+

3- 5

2

．

點評：本題考查圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查直線斜率為定理的證明，考查三角形面積最大時直線方程的求法．