Question

已知動圓過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上兩個不同的點(diǎn)，且OA⊥OB，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)動圓圓心C（x，y），由題設(shè)條件推導(dǎo)出

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能求出動圓圓心C的軌跡方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y 12=4x₁，y 22=4x₂，由OA⊥OB推導(dǎo)出x₁x₂=16，y₁y₂=-16，由此利用直線方程和點(diǎn)差法能證明直線AB過定點(diǎn)（4，0）．

解答： （1）解：設(shè)動圓圓心C（x，y），
∵動圓過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切，
∴

(x-1)2+y2

=|x+1|，
整理，得y²=4x，
∴動圓圓心C的軌跡方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y 12=4x₁，y 22=4x₂，
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90，
∴

y1y2

x1x2

=-

4 x1x2

x1x2

=-1，∴x₁x₂=16，y₁y₂=-16，
由直線AB得：y-y₁=

y1-y2

x1-x2

（x-x₁），
y 12=4x₁，y 22=4x₂，兩式相減，得
（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，
∴y-y₁=

4

y1+y2

（x-x₁），
又∵y₁y₂=-16，y 12=4x₁，y 22=4x₂，
（y-y₁）（y₁+y₂）=4（x-x₁），
∴yy₁+yy₂-y 12-y₁y₂=4x-4x₁，
yy₁+yy₂-4x₁+16=4x-4x₁，
yy₁+yy₂=4x-16，
∴（y₁+y₂）y=4（x-4）
x=4時，y恒為0
∴直線AB過定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評：本題考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．