Question

二次函數(shù)f（x）=x²+qx+r滿足

1

m+2

+

q

m+1

+

r

m

=0，其中m＞0．
（1）判斷f(

m

m+1

)的正負(fù)；
（2）求證：方程f（x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)恒有解．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)根的存在性定理即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+qx+r滿足

1

m+2

+

q

m+1

+

r

m

=0，其中m＞0．
∴f(

m

m+1

)=m(

m

(m+1)2

+

q

m+1

+

r

m

)=-

m

(m+1)2(m+2)

＜0；
（2）當(dāng)f（0）=r＞0時(shí)，f(

m

m+1

)＜0，f（x）在[0，

m

m+1

]上連續(xù)不間斷，
∴f（x）在(0，

m

m+1

)上有解；
當(dāng)f（0）=r≤0時(shí)，f(1)=

1

m+2

-

r

m

＞0，f（x）在[

m

m+1

，1]上連續(xù)不間斷，
∴f（x）在(

m

m+1

，1)上有解；
總之，方程f（x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)恒有解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．