Question

已知數(shù)列{a_n}中，其中a₂=6，且

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接由a₂=6，結(jié)合數(shù)列遞推式求得a₁，a₃，a₄；
（2）由數(shù)列的前4項(xiàng)歸納猜測(cè)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

解答： 解：（1）由a₂=6，且

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
得

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，即

6+a1-1

6-a1+1

=1，解得a₁=1；

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，即

a3+6-1

a3-6+1

=2，解得a₃=15；

a4+a3-1

a4-a3+1

=3，即

a4+15-1

a4-15+1

=3，解得a₄=28；
（2）∵a₁=1=1×（2×1-1），
a₂=6=2×（2×2-1），
a₃=15=3×（2×3-1），
a₄=28=4×（2×4-1），
由上猜測(cè)a_n=n（2n-1）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由已知可知成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即a_k=k（2k-1），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k，得（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-k（k+1），
a_k+1=（k+1）[2（k+1）-1]．
即n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
綜①②所述，a_n=n（2n-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，是中檔題．