Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N^*），若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀的值為（　　）

• A、-4
• B、-1
• C、8
• D、5

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關系，每三項一組，分別讓n取3的倍數(shù)，即可得到結論．

解答： 解：∵a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N^*），
∴每三項一組可得
∴當n=18，a₁₈+a₁₉+a₂₀=cos

2×18π

3

=cos12π=1
當n=15，a₁₅+a₁₆+a₁₇=cos10π=1
當n=12，a₁₂+a₁₃+a₁₄=cos8π=1
…

當n=3，a₃+a₄+a₅=cos2π=1，
則S₂₀=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₁₈+a₁₉+a₂₀）=6×1+1+1=8，
故選：C

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的前n項和的應用，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．