已知A、B、C是直線l上的不同的三點(diǎn)，O是外一點(diǎn)，則向量
OA
、
OB
、
OC
滿足：
OA
=λ
OB
+μ
OC
，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三點(diǎn)共線且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立．記y=f（x），求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）由條件求得
OA
=(3x+1)•
OB
+(
3
2+3x
-y)•
OC
，根據(jù)A、B、C在同一條直線上，可得(3x+1)+(
3
2+3x
-y)=1，由此求得函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）原不等式|a-lnx|-ln(
3
2+3x
)＞0，即 a＜lnx-ln
3
2+3x
，或a＞lnx+ln
3
2+3x
，利用單調(diào)性求出lnx-ln
3
2+3x
的最小值和lnx+ln
3
2+3x
的最大值，
即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
，
∴
OA
=(3x+1)•
OB
+(
3
2+3x
-y)•
OC
，（1分）
又∵A、B、C在同一條直線上，∴(3x+1)+(
3
2+3x
-y)=1…（2分），
y=
3
2+3x
+3x，即f(x)=
3
2+3x
+3x，…（5分）
（2）∵f(x)=
3
2+3x
+3x，
∴原不等式為|a-lnx|-ln(
3
2+3x
)＞0，
得a＜lnx-ln
3
2+3x
，或a＞lnx+ln
3
2+3x
，…（8分）
設(shè)g(x)=lnx-ln
3
2+3x
=ln
2x+3x2
3
，h(x)=lnx+ln
3
2+3x
=ln
3x
2+3x
，…（10分）
依題意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈[
1
6
，
1
3
]上恒成立，∵g（x）與h（x）在[
1
6
，
1
3
]上都是增函數(shù)，…（12分）
∴要使不等式①成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＜g(
1
6
)或a＞h(
1
3
)，
即a＜ln
5
36
，或a＞ln
1
3
，…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的不同三點(diǎn)，O是l外一點(diǎn)，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
，記y=f（x）；
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

6、已知a、b、c是直線，α是平面，給出下列命題：
①若a∥b，b⊥c，則a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
③若a∥α，b?α，則a∥b；④若a⊥α，b?α，則a⊥b；
⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a、b都垂直．
其中真命題是
①④
．（把符合條件的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上不同的三點(diǎn)，O是l外一點(diǎn)，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
．記y=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b、c是直線，β是平面，給出下列命題：
①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
②若a∥b，b⊥c，則a⊥c；
③若a∥β，a?α，α∩β=b則a‖b；
④若a與b異面，且a∥β，則b與β相交；
其中真命題的序號是
②③
②③
．（要求寫出所有真命題的序號）

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