已知A、B、C是直線l上不同的三點,O是l外一點,向量
OA
OB
OC
滿足:
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
.記y=f(x).
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式:
(Ⅱ)若對任意x∈[
1
6
,
1
3
]
,不等式|a-lnx|-ln[f'(x)-3x]>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍:
(Ⅲ)若關(guān)于x的方程f(x)=2x+b在(0,1]上恰有兩個不同的實根,求實數(shù)b的取值范圍.
分析:(Ⅰ)根據(jù)向量
OA
,
OB
,
OC
滿足:
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
,結(jié)合A、B、C是直線l上不同的三點,即可求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),原不等式為|a-lnx|-ln(
3
2+3x
)>0
,得a<lnx-ln
3
2+3x
,或a>lnx+ln
3
2+3x
,分別求出對應(yīng)函數(shù)的最小值與最大值,即可求得結(jié)論;
(Ⅲ)方程f(x)=2x+b變形為ln(2+3x)+
3
2
x2-2x=b
,研究左邊對應(yīng)函數(shù)的最值,即可求得實數(shù)b的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)向量
OA
,
OB
,
OC
滿足:
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0

OA
=(
3
2
x2+1)•
OB
+[ln(2+3x)-y]•
OC

∵A、B、C是直線l上不同的三點
(
3
2
x2+1)+[ln(2+3x)-y]=1

y=ln(2+3x)+
3
2
x2

∴f(x)=ln(2+3x)+
3
2
x2

(Ⅱ)∵f′(x)=
3
2+3x
+3x
,∴原不等式為|a-lnx|-ln(
3
2+3x
)>0

a<lnx-ln
3
2+3x
,或a>lnx+ln
3
2+3x
,①…(4分)
設(shè)g(x)=lnx-ln
3
2+3x
=ln
2x+3x2
3
,h(x)=lnx+ln
3
2+3x
=ln
3x
2+3x

依題意知a<g(x)或a>h(x)在x∈[
1
6
,
1
3
]
上恒成立,
g′(x)=
3
2x+3x2
1
3
(2+6x)=
2+6x
2x+3x2
>0
h′(x)=
2+3x
3x
3(2+3x)-3x•3
(2+3x)2
=
2
x(2+3x)
>0
,
∴g(x)與h(x)在[
1
6
,
1
3
]
上都是增函數(shù),要使不等式①成立,
當(dāng)且僅當(dāng)a<g(
1
6
)
a>h(
1
3
)
,∴a<ln(
5
36
)
,或a>ln
1
3
.…(8分)
(Ⅲ)方程f(x)=2x+b即為ln(2+3x)+
3
2
x2=2x+b
,
變形為ln(2+3x)+
3
2
x2-2x=b

令φ(x)=ln(2+3x)+
3
2
x2-2x,x∈(0,1]

∴φ′(x)=
3
2+3x
+3x-2=
9x2-1
2+3x
=
(3x-1)(3x+1)
2+3x
…(10分)
列表寫出x,φ'(x),φ(x)在[0,1]上的變化情況:
x 0 (0,
1
3
1
3
1
3
,1)
1
?φ'(x) 小于0 0 大于0
?φ(x) ln2 單調(diào)遞減 取極小值ln3-
1
2
單調(diào)遞增 ln5-
1
2
…(12分)
顯然φ(x)在(0,1]上的極小值也即為它的最小值ln3-
1
2

現(xiàn)在比較ln2與ln5-
1
2
的大。
ln5-
1
2
-ln2=ln
5
2
e
=
1
2
ln
25
4e
1
2
ln
25
4×3
>0
,∴ln5-
1
2
>ln2

∴要使原方程在(0,1]上恰有兩個不同的實根,必須使ln3-
1
2
<b<ln2

即實數(shù)b的取值范圍為ln3-
1
2
<b<ln2
.…(14分)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查向量知識,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B、C是直線l上的不同三點,O是l外一點,向量
OA
OB
,
OC
滿足
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
,記y=f(x);
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

6、已知a、b、c是直線,α是平面,給出下列命題:
①若a∥b,b⊥c,則a⊥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
③若a∥α,b?α,則a∥b;④若a⊥α,b?α,則a⊥b;
⑤若a與b異面,則至多有一條直線與a、b都垂直.
其中真命題是
①④
.(把符合條件的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a、b、c是直線,β是平面,給出下列命題:
①若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
②若a∥b,b⊥c,則a⊥c;
③若a∥β,a?α,α∩β=b則a‖b;
④若a與b異面,且a∥β,則b與β相交;
其中真命題的序號是
②③
②③
.(要求寫出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B、C是直線l上的不同的三點,O是外一點,則向量
OA
OB
、
OC
滿足:
OA
OB
OC
,其中λ+μ=1.
(1)若A、B、C三點共線且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立.記y=f(x),求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)若對任意x∈[
1
6
,
1
3
]
,不等式|a-lnx|-ln[f(x)-3x]>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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