Question

7．已知M={（x，y）|x＞0，y＞0，x+y=k且x≠y}（其中k為常數，且k＞0）、
（1）若（x，y）∈M，設t=xy，求t的取值范圍；
（2）若對任意（x，y）∈M均有（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）≠（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若（x，y）∈M，設t=xy，用k表示出t，結合一元二次函數的單調性即可求t的取值范圍；
（2）若對任意（x，y）∈N，將（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）化簡為t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，構造函數f（t）=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，如果討論k的取值范圍結合對勾函數的性質進行討論即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）∵x+y=k，
∴y=k-x，
則t=x（k-x），x∈（0，$\frac{k}{2}$）∪（$\frac{k}{2}$，k），
由二次函數的單調性知t的取值范圍是（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）；
（2）（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）=$\frac{1}{xy}$+xy-$\frac{x}{y}$-$\frac{y}{x}$=xy+$\frac{1}{xy}$-$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=xy-$\frac{{k}^{2}-1}{xy}+2$=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，
令f（t）=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，
①當k≥1時，f（t）在（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）上是增函數，
∴f（t）＜$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{4{k}^{2}-4}{{k}^{2}}+2$=$\frac{{k}^{2}}{4}$+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2=（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²；
此時滿足對任意（x，y）∈N均有（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）≠（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²，
②當0＜k＜1，f（t）=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，
則f（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²=f（$\frac{{k}^{2}}{4}$），
此時f（t）在（0，$\sqrt{1-{k}^{2}}$）上單調遞減，（$\sqrt{1-{k}^{2}}$，+∞）上遞增，
且t∈（0，$\sqrt{1-{k}^{2}}$）時，f（t）∈（2$\sqrt{1-{k}^{2}}$+2，+∞），
t∈（$\sqrt{1-{k}^{2}}$，+∞），f（t）∈（2$\sqrt{1-{k}^{2}}$+2，+∞），
故當$\sqrt{1-{k}^{2}}$＜$\frac{{k}^{2}}{4}$時，必在（0，$\sqrt{1-{k}^{2}}$）上存在唯一的t₀使得則f（t₀）=f（$\frac{{k}^{2}}{4}$）與題意不合；，
當$\sqrt{1-{k}^{2}}$≥$\frac{{k}^{2}}{4}$時，f（t）在（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）上單調遞減，故在（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）上不存在t₀使得則f（t₀）=f（$\frac{{k}^{2}}{4}$）；
由$\sqrt{1-{k}^{2}}$≥$\frac{{k}^{2}}{4}$得k⁴+16k²-16≤0，
解得0＜k²≤4$\sqrt{5}-8$，
即0＜k≤$\sqrt{4\sqrt{5}-8}$，
由①②可知k的取值范圍是（0，$\sqrt{4\sqrt{5}-8}$）∪[1，+∞）．

點評 本題主要考查函數最值的問題，利用一元二次函數和對勾函數的性質是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大，不好理解．