Question

16．已知函數(shù)h（x）=ax-lnx（x∈R）（注：下列各個小問中e都為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當x=$\frac{1}{2}$是h（x）的極值點時，求曲線h（x）在點（1，h（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a=2時，存在實數(shù)k，使不等式kx+1≤h（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，求k的取值范圍．
（Ⅲ）當x∈（0，$\frac{1}{e}$]時，求h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，求出a的值，從而求出f′（1），f（1）的值，進而求出切線的方程；
（Ⅱ）問題等價于k≤2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，令f（x）=2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$，通過討論f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的最小值，從而求出k的范圍；
（Ⅲ）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（I）f（x）=ax-lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
求導函數(shù)可得：f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
當x=$\frac{1}{2}$是h（x）的極值點時，f′（$\frac{1}{2}$）=0，
解得：a=2，∴f（x）=2x-lnx，f′（x）=2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，f（1）=2，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（Ⅱ）a=2時，不等式kx+1≤h（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，
等價于k≤2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，
令f（x）=2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$，則f′（x）=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$≥0，
∴f（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=2-e，
∴k≤2-e；
（Ⅲ）h′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，x∈（0，$\frac{1}{e}$），
①a≤0時，ax-1＜0，h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，
②a＞0時，令h′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．