Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=b•cosC
（I）求角B的大小；
（II）設(shè)

m

=(sinA，2)，

n

=(2

3

，-cosA)，求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理，將（2a-c）cosB=b•cosC中的邊化為所對角的正弦，可求得cosB的值，從而可求得角B；
（II）由A∈（0，

2π

3

），可得A-

π

6

的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可

m

•

n

的取值范圍．

解答：解：（1）∵△ABC中，（2a-c）cosB=b•cosC
∴由正弦定理得：2R（2sinA-sinC）cosB=2RsinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）…（2分）
因為B+C=π-A
∴2sinAcosB=sin（π-A）=sinA…（3分）
∵A∈（0，π），故sinA≠0，
∴cosB=

1

2

…（4分）
又B∈（0，π），
∴B=

π

3

…（6分）
（2）

m

•

n

=2

3

sinA-2cosA=4sin（A-

π

6

）…（8分）
由（1）可知A+C=

2π

3

，
所以A∈（0，

2π

3

）…（9分）
所以A-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

），…（10分）
所以sin（A-

π

6

）∈（-

1

2

，1）．
∴4sin（A-

π

6

∈（-2，4）．
即

m

•

n

的取值范圍為（-2，4）…（12分）

點評：本題考查正弦定理，考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得B的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．