Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π，x∈R）的最大值是1，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M（{\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{1}{2}}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知$α\;，\;\;β∈（{0\;，\;\;\frac{π}{2}}）$，且$f（α）=\frac{3}{5}$，$f（β）=\frac{12}{13}$．求f（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)后，由φ的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出φ的值，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）和題意求出cosα和cosβ，由α、β的范圍和平方關(guān)系求出sinα、sinβ，利用兩角和的余弦公式求出cos（α+β），可得f（α+β）的值．

解答 解：（1）由題意得，A=1，
∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M（{\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{1}{2}}）$，
∴$sin（\frac{π}{3}+φ）=\frac{1}{2}$，
由0＜φ＜π得，$\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}+φ＜\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}+φ=\frac{5π}{6}$，解得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx；
（2）由題意知，$f（α）=\frac{3}{5}$，$f（β）=\frac{12}{13}$，
由（1）得，cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{12}{13}$，
∵$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$sinα=\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，同理可得sinβ=$\frac{5}{13}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}-\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{16}{65}$，
即f（α+β）的值是$\frac{16}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了形如f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式的確定，兩角和的余弦公式、平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，注意角的范圍，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．