Question

6．已知函數(shù)g（x）=x（x+1），f（x）=x²+2x+1+aln（x+1）在x=1處有極值．
（1）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試問是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．（e=2.71828）

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x），因為函數(shù)在x=1處有極值，所以得f′（1）=0，代入求出a的值即可；
把a的值代入到f（x）中，求出導(dǎo)函數(shù)=0時x的值，在函數(shù)的自變量的范圍中令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；
（2）根據(jù)1＜e-1得到f'（x）＞0，所以x∈[e-1，e]時，f（x）_min=f（e-1），讓m²+tm+e²-14≤f（e-1），t∈[-1，1]恒成立，化簡后令g（t）=m²+mt-6，得到g（-1）≤0，g（1）≤0，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）因為f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，
所以f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+2（x+1）．
由f′（1）=0，可得$\frac{a}{2}$+4=0，解得a=-8．
經(jīng)檢驗a=-8時，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
所以a=-8；
f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）²，
f′（x）=$\frac{-8}{x+1}$+2（x+1）=$\frac{2（x-1）（x+3）}{x+1}$．
而函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
由表可知，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）∵1＜e-1，∴f'（x）＞0，x∈[e-1，e]時，f（x）_min=f（e-1）=-8+e²
不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm+e²-14≤f（x）_min?m²+tm+e²-14≤-8+e²，
即m²+tm-6≤0對t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+mt-6，⇒g（-1）≤0，g（1）≤0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-6≤0}\\{{m}^{2}-m-6≤0}\end{array}\right.$，
解得-2≤m≤2為所求．

點評 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時所取的條件．