Question

【題目】（選修4﹣5：不等式選講）
已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng) 時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．

設(shè)y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，則 y= ，它的圖象如圖所示：

結(jié)合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．

（2）解：設(shè)a＞﹣1，且當(dāng) 時(shí)，f（x）=1+a，不等式化為 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2對(duì) 都成立．

故﹣ ≥a﹣2，解得 a≤ ，故a的取值范圍為（﹣1， ]．

【解析】（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．設(shè)y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，畫出函數(shù)y的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2對(duì) 都成立．故﹣ ≥a﹣2，由此解得a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．