【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)上是減函數(shù),求的最小值;

(3)證明:當(dāng)時(shí),.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是,,單調(diào)遞增區(qū)間是(2)的最小值為(3)見解析

【解析】分析:(1)代入,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)由單調(diào)遞減區(qū)間,得到恒成立。進(jìn)而確定只需當(dāng)時(shí),即可,對導(dǎo)函數(shù)配方,利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值,進(jìn)而得出的最小值。

(3)函數(shù)變形,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)。構(gòu)造函數(shù),則,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求其最值,即可證明不等式。

詳解:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

詳解:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

(1)函數(shù),

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.

(2)因上為減函數(shù),故上恒成立.

所以當(dāng)時(shí),.

故當(dāng),即時(shí),.

所以,于是,故的最小值為.

(3)問題等價(jià)于.

,則,

當(dāng)時(shí),取最小值.

設(shè),則,知上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

,

,,

故當(dāng)時(shí),.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù).

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【題目】已知函數(shù),函數(shù)

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