Question

15．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且角A、B、C成等差數(shù)列，求證：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 由角A、B、C成等差數(shù)列，可得B=60°，由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB，整理可得：c²+a²=ac+b²，用分析法即可證明．

解答 （本小題12分）
證明：（分析法） 要證 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$，
需證：$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=3，
即證：c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
即證：c²+a²=ac+b²，
因?yàn)椤鰽BC中，角A、B、C成等差數(shù)列，所以B=60°，由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB，
即b²=c²+a²-ca 所以c²+a²=ac+b²，
因此 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了分析法證明的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．