Question

2．已知數列{a_n}及f（x_n）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿn，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n-10，求數列{|b_n|}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若 （$\frac{1}{2}$ⁿ）•a_n≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1 對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過令n=1、2、3代入計算可知a₁、a₂、a₃的值，利用（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）計算即得通項公式；
（Ⅱ）通過a_n=2n-1可知當n≥$\frac{11}{2}$時b_n≥0，分類討論即得結論；
（Ⅲ）通過令c_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，通過作差可知當n=2時c_n取最大值$\frac{3}{4}$，進而解不等式$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1≥$\frac{3}{4}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f₁（-1）=-a₁=-1，∴a₁=1，
∵f₂（-1）=-a₁+a₂=2，∴a₂=3，
∵f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，∴a₃=5，
∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n，
∴a_n+1=（n+1）+n=2n+1，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，
∴b_n=a_n-10=2n-11，
∴數列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{n（-9+2n-11）}{2}$=n²-10n，
由b_n≥0得n≥$\frac{11}{2}$，
∴當1≤n≤5時，T_n=-（b₁+b₂+…+b_n）=-S_n=-n²+10n；
當n≥6時，T_n=-（b₁+b₂+…+b₅）+b₆+…+b_n
=S_n-2S₅
=n²-10n-2（5²-10×5）
=n²-10n+50；
綜上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，}&{1≤n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，}&{n≥6}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）令c_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，則c_n+1-c_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{3-2n}{{2}^{n+1}}$，
∴當n=1時，c₁=$\frac{1}{2}$；
當n=2時，c₂=$\frac{3}{4}$；
當n≥2時，c_n+1＜c_n，．
∴當n=2時，c_n取最大值$\frac{3}{4}$，
又（$\frac{1}{2}$ⁿ）•a_n≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1對一切正整數n恒成立，
∴$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1≥$\frac{3}{4}$對一切正整數n恒成立，
解得：m≥1或m≤-7．

點評 本題考查數學的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．