Question

8．過點M（3，0）作直線l，交橢圓4x²+y²=16于A、B兩點，若AO⊥OB，求直線l的方程．

Answer 1

分析 當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3），聯(lián)立橢圓的方程，得（4+k²）x²-6k²x+9k²-16=0，由此利用根的判別式、根與系數(shù)關系、向量知識，結合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ 4{x}^{2}+{y}^{2}=16\end{array}\right.$，得（4+k²）x²-6k²x+9k²-16=0，
由根與系數(shù)關系得x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{9{k}^{2}-16}{4+{k}^{2}}$，
∵y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3），
∴y₁y₂=k²（x₁-3）•（x₂-3）=k^2_[x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9]=$\frac{20{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{9{k}^{2}-16}{4+4{k}^{2}}$+$\frac{20{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$=0，
∴29k²-16=0，
解得k=±$\frac{4\sqrt{29}}{29}$，
∴直線l的方程是y=$\frac{4\sqrt{29}}{29}$（x-3）或y=-$\frac{4\sqrt{29}}{29}$（x-3）．

點評 本題考查橢圓方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、根與系數(shù)關系、向量知識的合理運用．