Question

15．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ，曲線C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）求C₂與C₃交點的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）若C₂與C₁相交于點A，C₃與C₁相交于點B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將C₂與C₃轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，解方程組即可求出交點坐標(biāo)；
（Ⅱ）求出A，B的極坐標(biāo)，利用距離公式進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₂：ρ=2sinθ得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²=2y，①
C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，則ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，即x²+y²=2$\sqrt{3}$x，②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即C₂與C₃交點的直角坐標(biāo)為（0，0），（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（Ⅱ）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為y=tanαx，
則極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．
因此A得到極坐標(biāo)為（2sinα，α），B的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$cosα，α）．
所以|AB|=|2sinα-2$\sqrt{3}$cosα|=4|sin（α$-\frac{π}{3}$）|，
當(dāng)α=$\frac{5π}{6}$時，|AB|取得最大值，最大值為4．

點評 本題主要考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算和轉(zhuǎn)化能力．