Question

7．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且斜率為$\sqrt{3}$的直線與雙曲線右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{3}$]
• C． [2，+∞）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 若過點(diǎn)F且斜率為$\sqrt{3}$的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F，
若過點(diǎn)F且斜率為$\sqrt{3}$的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率$\frac{a}$，
∴$\frac{a}$≥$\sqrt{3}$，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≥4，
∴e≥2，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．