Question

11．已知實(shí)數(shù)a＞1，若函數(shù)y=a${\;}^{\frac{x}{e}}$的圖象與函數(shù)y=elog_ax的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍為（1，e）．

Answer 1

分析 若函數(shù)y=a${\;}^{\frac{x}{e}}$=$（\root{e}{a}）^{x}$的圖象與函數(shù)y=elog_ax=${log}_{\root{e}{a}}x$的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，y=$（\root{e}{a}）^{x}$=x有兩個(gè)解即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$（\root{e}{a}）^{x}$-x，只須h（x）的最小值小于0，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)y=a${\;}^{\frac{x}{e}}$=$（\root{e}{a}）^{x}$的圖象與函數(shù)y=elog_ax=${log}_{\root{e}{a}}x$的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
只需要討論與y=$（\root{e}{a}）^{x}$=x有兩個(gè)解即可，
令h（x）=$（\root{e}{a}）^{x}$-x，則函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
令h′（x）=$（\root{e}{a}）^{x}$ln$\root{e}{a}$-1=0，則x=${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$，
當(dāng)0＜x＜${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)h（x）取最小值，
若函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則h（${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$）＜0，
即${（\root{e}{a}）}^{{log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}}$＜${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$，
即$\frac{1}{ln\root{e}{a}}$=${log}_{\root{e}{a}}e$＜${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{ln\root{e}{a}}$，
即e＜$\frac{1}{ln\root{e}{a}}$，
即0＜ln$\root{e}{a}$＜$\frac{1}{e}$，
即1＜$\root{e}{a}$＜$\root{e}{e}$，
即1＜a＜e，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e），
故答案為：（1，e）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，反函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)等的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．