Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.

Answer 1

(I) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上，，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；（II）實(shí)數(shù)取值范圍．

試題分析：(I) 當(dāng)時(shí)，試討論的單調(diào)性，首先確定定義域，可通過單調(diào)性的定義，或求導(dǎo)確定單調(diào)性，由于，含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可通過求導(dǎo)來確定單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由此需對(duì)參數(shù)討論，分，，三種情況，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得單調(diào)性；（II）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍，由題意可知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意時(shí)，的最小值大于或等于當(dāng)時(shí)的最小值即可，由（I）知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，只需求出的最小值，由于本題屬于對(duì)稱軸不確定，需討論，從而確定實(shí)數(shù)取值范圍．也可用分離參數(shù)法來求．
試題解析：（I） =（）   3分
當(dāng)時(shí)，在上，，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；    4分
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減；                   5分
當(dāng)時(shí)，，時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增；時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減.     7分
（II）若對(duì)任意，存在，使成立，只需      9分
由（I）知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，     11分
法一：，對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，，得：；
當(dāng)，即時(shí)，，得：；
當(dāng)，即時(shí)，，得：.          14分
綜上：.                         15分
法二：
參變量分離：，                     13分
令，只需，可知在上單調(diào)遞增，，.  15分