Question

已知半徑為5的動(dòng)圓C的圓心在直線(xiàn)l：x-y+10=0上．（1）若動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)（-5，0），求圓C的方程；（2）是否存在正實(shí)數(shù)r，使得動(dòng)圓C中滿(mǎn)足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有且只有一個(gè)？若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）依題意，可設(shè)動(dòng)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=25，其中圓心（a，b）滿(mǎn)足a-b+10=0．
又∵動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)（-5，0），故（-5-a）²+（0-b）²=25．
解方程組

a-b+10=0 (-5-a)2+(0-b)2=25

可得

a=-10 b=0

或

a=-5 b=5

故所求的圓C方程為（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25．
（2）圓O的圓心（0，0）到直線(xiàn)l的距離d=

|10|

1+1

=5

2

．
當(dāng)r滿(mǎn)足r+5＜d時(shí)，動(dòng)圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相切的圓；
當(dāng)r滿(mǎn)足r+5=d，即r=5

2

-5時(shí)，動(dòng)圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x²+y²=r²相外切；
當(dāng)r滿(mǎn)足r+5＞d，與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有兩個(gè)．
綜上：r=5

2

-5時(shí)，動(dòng)圓C中滿(mǎn)足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有一個(gè)．